新イシカワ電磁気学−線電荷〜ガウスの法則の例


 前節で導入したガウスの法則を使って、線電荷による電場を求めてみよう。  まずはガウスの法則の復習から。 ガウスの法則は以下のように書ける。
   … (1)

左辺は、ガウス面と呼ばれる任意の閉曲面Sに関する電場の面積分で、 Sが囲む空間から出てゆく電場の総量を表すのであった。  右辺は、S内の空間の電荷の総量である。 

 線電荷とは、ある線の上に電荷が分布していることを言う。  ここでは、無限に長い直線に一様に電荷が分布している場合を考えよう。  電荷密度はλ(ラムダ)とする。  線電荷の電荷密度とは、単位長さあたりの電気量のことを表す。  SI単位(国際単位系)では、1メートルあたり何クーロンの電荷を持っているか ということを表す量になる。 

 線上に電荷を分布させるには、電気を良く通す線状の物体を 用意しなければならない。 電気を良く通す物体は導体と呼ばれ、 金属はその代表である。 ここで扱う線電荷は、線状の導体、すなわち 針金のようなものを帯電させていると考えればよい。  導体とは逆に電気をほとんど通さないものを絶縁体、または誘電体と言う。  導体と絶縁体の中間的な性質のものを半導体と言う。 

 まず、この直線電荷がどのような電場を作るか、電気力線を描いて 考えてみよう。 λが正の値を持つとすれば、直線から外向きに電場が発生する。 点電荷による電場は全方向に向かって発生していたが、 電気力線同士は反発しあうことから、線電荷による電気力線は 線電荷に垂直な方向のみに発生していると考えられる。  これを図示すると以下のようになる。 
   … (a)

黒が線電荷で、青が電気力線である。 電気力線は途中で途切れずに 伸びてゆくものであるが、ここでは図がわかりにくくならないように 途中で切った。 この点はご了承いただきたい。  もちろん、電気力線はこの方向にのみあるものではなく 全空間に分布していることを注意しなければならない。

 電場の様子がわかったので、今度は具体的にどのような式になるか 求めてみよう。 電場の方向は上の図のようになっているので、今度は大きさを求める。  電場の大きさは上の図から、線電荷からの距離rにのみよると考えられる。  電場の大きさをE(r)とする。 

 このE(r)を求めるために、ガウスの法則を使う。  ガウス面Sは任意のものを選んでよいので、 できるだけEを求めるのに都合の良いものを選ぼう。  この際、線電荷の周りの対称性に注目して、 線電荷を中心軸とする円筒形のガウス面を考えると良いだろう。  底面の半径をrとする。 高さは1とすると計算が楽になる。  図にすると以下のようになる。
   … (b)

 上の2つの図を見比べると、ガウス面の側面と電場は常に直交していて、 ガウス面の底面と電場は並行であることがわかる。  ガウスの法則の面積分は、電場と面が直交する部分のみを積分するので、 側面の積分のみを行えばよい。 さらに、側面では電場は一定の大きさを 持つので、積分に関係ない定数になる。 残った積分の部分は、 ガウス面の側面の面積になる。  よって、ガウスの法則の右辺は 以下のように計算できる。 
   … (2)

 次にガウスの法則の右辺を計算しよう。 右辺はガウス面内の全電荷/ε である。 ガウス面内の電荷はλ×1なので、λ/εとなる。  これが先ほど計算した左辺と等しいので、
   … (3)

となり、電場の大きさが求められた。 電場は実際にはベクトル場であり、 方向は線電荷から外向きである。 

 今回の結果は、逆2乗則でなく逆1乗則になった。  これは、電気力線の様子を創造してみれば簡単に理解できることであろう。  点電荷の時には電気力線は3次元的に全方向に広がっていったので、 球の表面積に反比例した。 今度は2次元的に全方向に広がっていくので、 円周の長さである2πrに反比例するのである。

 同じように、電荷が平面に一様に分布している「面電荷」を考えると、 電場は面からの距離によらず一定になることがわかる。  面の上側では電気力線が上を向き、下側では電気力線が下を向くため、 電気力線の量が距離によらず一定になるからである。  線電荷の場合と同じようにガウスの法則を使うと電場の式を 簡単に求めることができるので、是非やってみてほしい。 

 このように、ガウスの法則を使うと実際の電場を求めることができる。  しかし、静電場(時間変化しない電場)の法則はもう1つある。  次項では、静電場に関するもう1つの法則を紹介し、 電場が電位と呼ばれる量で表されることを説明する。


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