新イシカワ電磁気学−ビオ・サバールの法則


 前節では、定常電流による磁場をアンペールの法則により 求めた。 アンペールの法則は対称性を利用すると 非常に簡単に磁場を求めることができた。  対称性が良くない場合は、アンペールの法則では 磁場を求めることができない。  そこで、この節で導入するビオ・サバールの法則が必要になる。

 前節の最後に、線電荷及び線電流は逆1乗則、面電流及び面電荷は 定数の場が生じることに触れた。  これらをまとめてみると、以下のようになっている。
   … (1)

上段が面電荷および面電流、中段が線電荷および線電流、下段が点電荷による 場の様子である。  面電荷については扱っていなかったが、 ガウスの法則を使えば簡単に求められる。 σは 面積あたりの電荷分布である。

 これらの式の電場と磁場を比較してみると、 非常に良く似た関係があることがわかる。  比例定数のεとμは分母分子逆にあるが、 それ以外の定数、rの次数は一致している。  このことから、もし「点電流」を考えることができれば、 これは逆2乗則になるのではないかと考えられる。  式の類似関係から、「点電流」の密度をiとすると、
   … (2)

という風に想像できる。 

 これを定式化するとビオ・サバールの法則になる。  ここでは、これを類似関係から類推した。  証明はベクトルポテンシャルを導入するとできるが、 現段階では少し難しくなってしまうので省略することにした (ベクトルポテンシャルについては記事を作成予定)。 

 電流は回路内を流れるものであり 「点電流」というものは存在しないので、iを 他のもので表す方法を考えてみよう。  直線電流の場合と比較すると、この式には分母にrが増えている。  よって、iの次元は[電流]×[長さ]であることがわかる。  点電流に相当するものとして、電流を微小な長さで切り出した 「電流素片」というものが考えられる。  電流の微小長さをdsとすると、i=Idsとすれば 「点電流」に対応する式を満たすことがわかる。  ただし、点電荷による電場は放射状に広がったのに対して、 電流素片による磁場は右ネジの方向に発生する。  下図のような状況を考えた場合、電流素片から発生する磁場は 電流の方向とr方向との直交成分のみになると考えられる。
   … (a)

図のように θをとると、i=Ids×sinθとすればよい。 

 電流を微小な幅で切り出したので、発生する磁場も 微小量になると考えられる。  そこで、磁束密度の大きさBをdBと書くことにしよう。  するとdBは以下のようになると考えられる。
   … (3)

 磁場はベクトル場なので、大きさだけでなく方向も重要である。  そこで、上の式を方向も含めた形に書き直そう。  電流素片の位置を、求める磁場の位置をとすると、 電流素片から磁場に向かうベクトルは()となる。  また、電流素片の位置は電流に沿って変化すると考えると、 方向も含めた電流素片を含めたベクトルはIdとなる。  図示すると以下のとおりである。
   … (b)

電流素片と磁場との距離は||となる。  磁場の方向は、外積を使って表すとId×() の方向であると言える。  以上のことから、磁束密度の大きさが先ほどの式と同じになるようにすると、 電流素片により発生する微小な磁束密度dは 以下のように書ける。 
   … (4)

外積が出てきたおかげでsinθを式から消すことが出来た (外積の定義より |d×()|=|d|×|| sinθである)。  定常電流からなる回路による磁場は、これを回路に沿って積分すれば 求めることができる。 すなわち、
   … (5)

となる。 Cは回路に沿った経路である。  これがビオ・サバールの法則である。  この式は実はアンペールの法則と等価であるが、 回路の形がわかっていればアンペールの法則では求めにくい 磁場も求めることができる。 

 ビオ・サバールの法則は、電流密度ベクトルを使って書き直すことができる。 電流密度は、ある点を通過する電流を表すベクトルであった。  電流は有限の大きさの面を通り抜ける電荷の総量であったので、
   … (6)

という関係があることを前節で扱った。  これをビオ・サバールの法則の式に導入してみよう。  dの方向は電流の方向なので、電流密度と平行になっている。  そこで、dで代用することにしよう。  ビオ・サバールの法則の式の中には電流Iがあったので、 を面積分しなければならない。  これと回路に関する積分とあわせて、体積積分するとよいことになる。  電流のある範囲の空間をVとすると、以上のことからビオ・サバールの法則は 以下のように書き換えられる。
   … (7)

電流がない場所でははゼロになるので、積分に影響しない。  そこで、この体積積分は全空間に渡って行えばよいことになる。 


 ビオ・サバールの法則を使って、半径aの円電流の中心部に発生する磁場を 求めてみよう。  図で表すと以下のような状況である。 
   … (c)

このような電流が作る磁場の場合、アンペールの法則では 求めるのが難しい。 なぜなら、どのような閉曲線Cを考えても 磁場が一定にならず、線積分が求められないからである。 

 一方、ビオ・サバールの法則を使うと磁束密度は簡単に求められる。  まず、電流を電流素片に分けて考える。 すると、どの電流素片からも 上方向の磁場が発生することがわかる。 よって、電流全体が作る 磁場も上方向をむいていると考えることができる。 

 磁場の方向がわかったので、大きさを求めよう。  この場合はビオ・サバールの法則の式の絶対値を取って考えればよい。  電流素片の方向とベクトル()は常に直交するので、 外積の大きさはそれぞれの大きさの積になる。  また、電流素片と円の中心との距離は常に一定なので、 被積分関数は全て定数になる。  残ったdsの積分は、円周の長さに相当するので、2πaとなる。  以上のことをまとめると次のようになる。 
   … (8)

半径aに反比例する結果が得られた。 これは、電流が線上を 流れているためだと考えられる。  また、この磁束密度を無限に長い直線電流の場合と比べると、 電流からの距離が同じ場合π倍大きい値であることがわかる。 


 以上で定常電流に対する定常的な磁場については 終わりである。  定常的な電場及び磁場についてみてきたが、これだけではまだ マクスウェル方程式の全てが揃わない。  次節からは、時間変化する電場・磁場について扱う。  電磁場の時間変化まで考えたとき、マクスウェル方程式は完成する。 


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