新イシカワ電磁気学−マクスウェル方程式


 今までのところで電磁場に関する基本方程式が全て揃った。  ここではそれらをまとめてみよう。 

 静電磁場に関する重要な方程式は、 前にも紹介した通り以下の4つである。 
   … (1)

1番上はガウスの法則、2番目は電場の回転成分は存在しないという法則、 3番目は磁場に関するガウスの法則、4番目はアンペールの法則であった。 

 これらが時間変化する場合について考えると、まず 電場及び磁場に関するガウスの法則はそのまま適用できる。  アンペールの法則は電荷保存則を満たすように アンペール・マクスウェルの法則に拡張する必要がある。  回転する電場に関しては、電磁誘導の法則が成り立つ。  以上のことから導かれる、一般の電磁場に関する式は以下のようになる。 
   … (2)

この4つの式は電磁場を記述する非常に重要な基本方程式である。  これらは4つあわせてマクスウェル方程式(積分形)と呼ばれる。 

 今まで扱ってきた電場・磁場の例では、 積分形を使ったほうが便利であった。  しかし、電磁場の性質を調べたりするためには、微分形を使った方が わかりやすい。  そこで積分形のマクスウェル方程式を、 ガウスの定理及びストークスの定理を使って以下のように変形する。 
   … (3)

これはマクスウェル方程式(微分形)と呼ばれる。  通常マクスウェル方程式と言えば微分形のことを指す。 

 積分形と微分形の大きな違いは 積分形が有限の大きさの空間を考えているのに対し、 微分形が全て一点に関する法則である点だ。  マクスウェル方程式は(古典的には)空間上の全ての点で成り立っている式である。 

 ここで挙げたマクスウェル方程式は、真空中の場合に成り立つ 式であるので注意していただきたい。  物質中のマクスウェル方程式は、これらを少し修正した形になる。 

 ここで定数εとμの間の 重要な関係について触れておこう。  光の速度をcとすると、以下のような関係が成り立っている。 
   … (4)

次節でマクスウェル方程式の解として電磁波の解があるということを 扱うが、これについてはそこでも触れる予定である。  とりあえずここでは、この式を満たすようなcを導入したと 考えてもらえば問題ない。


 マクスウェル方程式が出揃ったので、ここで単位系について扱っておく。  物理学の基本量は、まず長さ、質量、時間である。  これらの量を表す単位の違いで、MKS単位系とCGS単位系がある。  MKSはm(メートル)、kg(キログラム)、s(秒)を基本単位とする単位系で、 CGSはcm(センチメートル)、g(グラム)、s(秒)を基本単位とする。  現在主に使われているSI単位系は、MKS単位を採用している。 

 これらの単位系は、大きさが違うだけで物理的意味は変わらないので それほど混乱したりはしないだろう。 しかし、電磁気に関する 物理量は、単位系によって次元が変わってしまう。  よって式の形自体が単位系によってかなり変わってしまうので、 混乱する元になりうる。 

 マクスウェル方程式に現れる定数は、各単位系によって 変化する。 上で紹介したのは、SI単位系によるマクスウェル方程式である。  単位系を限定しないでマクスウェル方程式を書くと以下のようになる。 
   … (5)

定数k、k、k3、αは 単位系によって違う値をとる。  kは、クーロンの法則の定数kである。  kは直線電流間の力の式に現れる定数で、 「アンペールの法則」のところで使った定数k’とは k’=k×2の関係がある。  kはファラデーの電磁誘導の法則に現れる定数である。  SI単位系では1になるので紹介しなかった。  αは、CGI−Gaussなどで使われるつじつまあわせの定数である。 

 実際に使われている単位系を紹介しよう。  まず、SI単位系は国際単位系として、現在主に用いられている。  MKS単位、及び電流(アンペア)を定義として用いる (他にケルビン、モル、カンデラを使う7次元系である)。  k=1/4πε、k=μ/ 4πとして、kとαは1とする。  これらに1/4πの要素があるため、マクスウェル方程式では 4πを相殺することができる(このような単位系を有理系と言う)。  cを光速度とすると、定数εは10/4πc、 μは4π×10−7と定義される。  ε、μが現れるのはSI単位系のみである。 

 CGS単位を使う単位系はいくつかあるが、それらは全てCGSの3つのみを 基本単位とする3次元系である。  CGS−esu(CGS静電単位系)は、k=1とする、 静電気を中心とした単位系である。  一方、CGS−emu(CGS電磁単位系)は、k=1とする、 磁気を中心とした単位系だ。  CGS−Gaussは、電気の単位にはCGS−emu、磁気の単位には CGS−esuを使う単位系で、CGS対称単位系とも呼ばれる。  これらは非有理(マクスウェル方程式で4πが消えない)単位系であるが、 CGS−Gaussを有理化した単位系であるヘヴィサイド・ローレンツ単位系 も使われることがある。 

 以上の単位系について、表にまとめると以下のようになる。
単位系基本単位有理化 α εμ
MKSA(SIの一部) m、kg、s、A有理1/4πε μ/4π 10/4πc4π×10−7
CGS−esucm、g、s非有理 1/c 1/c
CGS−emucm、g、s非有理 1/c
CGS−Gausscm、g、s非有理 1/c1/c
ヘヴィサイド・ローレンツcm、g、s有理1/4π 1/4πc1/c

=k=1とすると 一番簡単になりそうだが、そのためには光速度c=1としなければならない。  このようにいろいろな定数を1として単位を定義してゆく「自然単位系」も 使われることがある。

 SIとともに特によく使われるのがCGS−Gaussである。  原子核などを扱う人たちには、今もCGS−Gaussの方が良く使われている そうである。 大学の講義でも、教官によっては特に注意せずに CGS−Gaussを使っている場合がある。  CGS−Gaussによるマクスウェル方程式を書くと、以下のようになる。 
   … (6)

このような形ができてきても、SI単位系と矛盾しているわけではないと いうことに気をつけなければならない。  CGS−Gaussでは、ローレンツ力の式も以下のように変化する。 
   … (7)

この式を見ればわかるとおり、電場と磁束密度は同じ次元の量になる。 

 現在良く使われている理学書の単位系を少し紹介しておこう。  MASA単位系では、砂川重信「理論電磁気学」 「電磁気学 初めて学ぶ人のために」、ファインマン物理学 などがある。  最近出版されたものはほとんどSIで書かれている。 

 CGS−Gauss単位系では、ランダウ・リフシッツ「場の古典論」、 ジャクソン「電磁気学」(原著第3版の前半のみMKSA)などである。  電磁気学の本ではないが、久保亮吾「大学演習 熱学・統計力学」という有名な 本もCGS−Gaussで書かれているので注意が必要だ。 

 単位系については「理科年表」(丸善)の物理/化学部の最初に詳しく 載っているので、必要になったら参照するとよい。 

※この単位系の記事を書くにあたって、 櫻井博儀先生が電磁気学Iの授業で使用したプリントを参考にさせていただきました。


 電磁気学における多くの現象が、このマクスウェル方程式で 説明される。  近接作用の立場を取ることによって電場・磁場の概念を導入したが、 マクスウェル方程式はこれらの関係を記述するものである。  以前、近接作用を導入するにあたって、電場・磁場が 電磁波の存在を予言していることを紹介した。  そこで、次節では実際にマクスウェル方程式に 電磁波の解があることを確認する。


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