前節まででマクスウェル方程式（真空中）を全て紹介した。
この節では、マクスウェル方程式の解に
電磁波に相当するものがあることを紹介する。
ただし、ここではあまり厳密な扱いはせずに、
等速で電磁場が伝わっていく解が存在することを示す。
電磁波の性質については、将来的に記事を作成したいと思っている
（大分先になりそうですが…）。
この節では、電磁場についていろいろな制限をつけて
その解について考えてゆく。
これらは電磁場が一般的に満たす性質というわけではなく、
そういう性質であると仮定しているだけである。
マクスウェル方程式を満たす電磁場は多くの種類のものがあるが、
ここで制限をつけたような解もあるということを紹介するのがこの節の
目的である。
マクスウェル方程式は以下のように書けるのであった。
 |
… （１） |
この節以降は、電場・磁場は常に時間変化しうると考えて、
関数の引数（ｒ，ｔ）を省略することにする。
まず、電荷も電流も存在しない真空中を考える。
このような状況では、電荷密度と電流密度がそれぞれゼロになる。
するとマクスウェル方程式は以下のようになる。
 |
… （２） |
次に、電場はｘ成分のみを持ち、ｙ、ｚ成分はゼロであるとして、
Ｅ＝（Ｅ，０，０）と表すことにする。
また、電場のｘ成分は時間ｔとｚのみの関数であるとする。
電場はｘ方向を向いていて、ｚ座標によって大きさが変わる場合を
考えるのである。 磁場もｚとｔのみの関数で、ｘ、ｙによらない場合を考える。
これらの場合、電場や磁場をｘやｙで偏微分するとゼロになる。
これらのことをふまえて、マクスウェル方程式の第２式を計算してみよう。
 |
… （３） |
２行目を見てみると、第１項についてはｙ成分のみが残り、
ｘ、ｚ成分はゼロになることがわかる。
そこでｙ成分のみの関係を取り出して３行目に書いた。
ｘ、ｚ成分は第１項がゼロであったことから、第２項のｘ、ｚ成分も
ゼロであることがわかる。 すなわち、∂Ｂｘ／∂ｔ、∂Ｂｚ／∂ｔは
ゼロになる。
よって、Ｂｘ、Ｂｚは時間によらない定数であることがわかる。
今考えているのは時間変化する電磁場であって、時間によらない定数は
無視することにする（電磁波には関係ないから）。 よって、Ｂｘ＝Ｂｚ＝０とする。
よって、磁場はｙ成分のみをもつことになる。
そこで、改めて磁束密度をＢ＝（０，Ｂ，０）とおく。
上の式の３行目は後で使うので、☆とおくことにする。
次に、マクスウェル方程式の第４式を計算してみよう。
前節で紹介したとおり、ε０μ０は１／ｃ２と
書ける。 これを使い、実際に計算を行う。
 |
… （４） |
２行目を計算すると、ｘ成分以外はゼロになる。 ｘ成分を取り出すと
３行目になる。 この３行目は※とおく。
☆と※を連立して、Ｅだけの式とＢだけの式を作ろう。
まず※をｔで偏微分する。 偏微分の順序は交換可能であることから、
∂Ｂ／∂ｔを☆を使って書き直す。 すると、Ｅのみの偏微分方程式が得られる。
 |
… （５） |
次に、☆をｔで偏微分する。
偏微分の順序は交換可能なので、∂Ｅ／∂ｔを※を使って
書き直す。 結果、今度はＢのみの式になる。
 |
… （６） |
ＥとＢの偏微分方程式を比較してみると、
全く同じ形の方程式になっていることがわかる。
すなわち、以下のような形の方程式である。
 |
… （７） |
これは（１次元の）波動方程式と呼ばれる方程式である。
この方程式の解は、ｆ（ｚ−ｃｔ）またはｆ（ｚ＋ｃｔ）という形の解を
持つことが知られている。
確認のため、これらの解を波動方程式に代入してみると、
両辺ともｆ’’という形になり、確かに解になっていることがわかる。
このｆ（ｚ−ｃｔ）やｆ（ｚ＋ｃｔ）という解がどういう性質を持つか
考えてみよう。
まず、ｔ＝０ではこれらの関数はｆ（ｚ）という形を持つ。
そして時間がたつとｔ＞０となる。 このとき、ｆ（ｚ−ｃｔ）
はｆ（ｚ）をｚ方向にｃｔだけ平行移動したものになっている。
一方、ｆ（ｚ＋ｃｔ）は−ｚ方向にｃｔだけ平行移動したものになる。
移動距離は時刻が経つほど大きくなるので、
これはｚ方向および−ｚ方向に伝わる波であると考えられる。
図で表すと以下のようになっている。
 |
… （ａ） |
時刻がｔ進むごとにｃｔだけ進行する波なので、
その速度はｃであることになる。
電場のｘ成分と磁場のｙ成分がこの形の式になったので、
電場と磁場は速さｃで伝わる波であるということになる。
これが電磁波である。
ｃは電磁波の速度、すなわち光速度であることがわかる。
電磁波の性質について少し紹介しよう。
ここでは色々な制限をつけてマクスウェル方程式を
解いていったので、電磁波がここでの解のような性質を
持つとは限らない。 しかし、いくつかの性質は
電磁波の一般的な性質である。
まず、電磁波中の電場と磁場は直交している。
ここでは電場がｘ方向を向いていると仮定して、
磁場がｙ方向を向いていることを導くことが出来た。
次に、電場・磁場の方向と進行方向が直交しているという性質がある。
この場合は電磁場はｘ方向とｙ方向であるのに対し、進行方向はｚ方向であった。
この性質は、「電磁波は横波である」という風に表現される性質である。
進行方向に対し変位が横向きなのでこのように表現される。
以上で真空中の電磁気学は終わりである。
しかし、まだ説明していない事項もいくつかあるし、
物質中の電磁気学に関しては全く説明していない。
これらについては、いつか記事を作成したいと思っている。
気長にお待ちいただければ幸いである。
|
|
