前節ではベクトルの足し算、引き算と微分について紹介した。
ここでは、ベクトル同士の掛け算である内積と外積を紹介する。
ベクトルの足し算・引き算は、成分同士を足し引きすることで
定義された。 計算の結果できたベクトルは、
二つのベクトルの合成を表すのであった。
しかし、成分同士をかけても特に重要な意味を持たない。
そこで、重要な意味を持つ演算である内積と外積が
よく使われる。
まずは内積から。
内積は高校数学でも習うはずなので、知っている人も
多いのではないかと思う。
内積は二つのベクトルからスカラーを作る演算である。
このことから内積は「スカラー積」と呼ばれることもある。
ベクトルａとｂの内積は
ａ・ｂとドットを使って表現する。
ａ＝（ａｘ，ａｙ，ａｚ）、
ｂ＝（ｂｘ，ｂｙ，ｂｚ）とすると、
これらの内積は以下のようになる。
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… （１） |
それぞれの成分同士を掛け合わせ、それらを足したものが
内積になる。
内積の計算方法はわかりやすいので問題ないと思うが、
以下のように計算している。
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… （ａ） |
赤→緑→青の順に（別にこの順でなくてもよいが）、掛け算をして足し合わせればよい。
ここでは３次元で成分が実数であるベクトル（実ベクトル）を扱っているので
問題ないのだが、成分が複素数の場合は定義のされ方が違うので
注意すべきだ。 複素数を成分に持つベクトル（複素ベクトル）は、
量子力学でよく使われる。
内積の中でも、同じベクトル同士の
内積は非常に重要である。
例えばベクトルａ同士の内積は
ａ２や｜ａ｜２と表記される。
これらは、元のベクトルの大きさの自乗を表す。
ベクトルａの大きさは｜ａ｜と書く。
これは、以下のようにして求めることができる。
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… （2） |
内積の計算方法は比較的簡単だが、内積が何を表すのか
考えてみよう。
ベクトルａとｂの内積は、
それぞれの大きさを用いると以下のように書ける。
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… （３） |
ただし、θはａとｂとのなす角である。
これを図で表すと以下のようになる。
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… （ｂ） |
このように内積は、１つのベクトルからもう１つのベクトルの方向の成分を
取り出したもの（正射影）に、もう１つのベクトルの大きさを掛けたものである。
それぞれのベクトルの大きさが変わらない場合、内積は
ベクトル同士が平行なときに最大になる。
また、大きさにかかわらず、ベクトル同士が直交している場合は
内積はゼロになる。
次に外積について。 外積はベクトルとベクトルから
ベクトルを作る演算であり、「ベクトル積」とも呼ばれる。
ベクトルａとｂの外積は
ａ×ｂと表現する。
ａ×ｂは計算方法は以下のとおりである。
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… （４） |
注意すべき点は、新しいベクトルのｘ成分には、
もとのベクトルでｘ成分だったものが入らないということである。
ｘ成分に入るのはもともとｙ、ｚ成分にあった要素である。
ｙ、ｚ成分も同様になっている。
これは少し複雑なので、計算方法を解説しよう。
外積を計算するには、まず２つのベクトルの成分を書き、
それらの下にｘ成分をもう１度書き加える。
そして、以下の矢印のように掛け算を行う。
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… （ｃ） |
まずｘ成分を計算するには、もとのベクトルのｙ成分とｚ成分に注目する。
そして、（左上）×（右下）−（右上）×（左下）を計算する。
以下、同じように赤→緑→青の順に（この順でなくてもよいが）計算する。
外積の計算によってできるのはベクトルであるので、
大きさと向きがそれぞれどうなるかを見ていこう。
まず、大きさは以下のようになる。
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… （５） |
θはそれぞれのベクトルのなす角である（この場合θは鋭角にとる）。
これは、ベクトルが作る平行四辺形の面積に等しい。
一方、外積の作るベクトルの方向は、
元のベクトルとはどちらとも直交している。
その方向は、ａ、ｂ、ａ×ｂが
右手系をなすような方向になる。
右手系をなすとは、右手で「フレミングの法則」の形を作ったときに、
親指、人差し指、中指が示す方向の組み合わせになっていることである。
すなわち、外積の方向は以下のようになる。
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… （ｄ） |
ちなみに空間の直交座標ではｘ軸、ｙ軸、ｚ軸は右手系を
なすように定義する。 ３次元の図を書くときに間違えないよう注意しよう。
以上のことをまとめると、外積は以下のように図に描ける。
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… （ｅ） |
外積はグレーになっている部分に対応する大きさをもつことになる。
このような性質から、平行なベクトル同士の外積はゼロベクトルになる。
なぜなら、平行なベクトルが作る平行四辺形の面積はゼロになるからである。
また、外積は掛ける順番によって結果が変わることにも注意しなければならない。
実際に掛ける順番を変えると、ａ×ｂ＝−ｂ×ａ
となる。 ベクトルの大きさは面積なので変わらず、向きが逆になっている。
これは、外積が右手系をなしていることから説明できる。
親指と人差し指が逆の場所になると、中指の方向は逆方向になる
（指をつらないように注意しながら確かめてみて欲しい）。
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