前節ではスカラー場とベクトル場を導入した。
また、微分演算子∇を紹介した。
ここでは、スカラー場にナブラを作用させる、
グラディエントという演算について扱う。
まず、∇の定義を復習しよう。
ナブラは以下のように定義されるのだった。
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… （１） |
あるスカラー場をｆとすると、ｆに∇を作用させることが
できる。
スカラー場にナブラを作用させてできるベクトルをグラディエント
と言い、∇ｆやｇｒａｄ ｆと表す。
具体的には以下のように計算する。
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… （２） |
スカラー場ｆは偏微分してもやはり位置の関数なので、
ｇｒａｄ ｆはベクトル場になる。
さて、この新しく出来たベクトル場が何を表すのか考えてみよう。
まずｆがｘのみの関数で、ｙやｚの関数でない場合について考える。
すると、ｇｒａｄ ｆのｙ成分とｚ成分はゼロになる。
ｘ成分は、ｆの変化が大きい場合には大きくなり、ｆがあまり変化しない場合には
小さくなる。 また、ｘが大きくなるにつれｆが大きくなる場合は
ｇｒａｄ ｆのｘ成分は正になり、逆にｘが大きくなるにつれｆが
小さくなる場合はｇｒａｄ ｆのｘ成分は負になる。
次にｆがｙによってのみ変化する場合を考えよう。
すると今度は、ｇｒａｄ ｆはｙ成分のみをもつ。
同じように変化の割合によって、そのｙ成分の値は変化する。
ｆがｚのみの関数の場合も同様で、ｇｒａｄ ｆは変化の
割合によって変化するｚ成分を持つ。
以上のことから、ｇｒａｄ ｆは変化の方向に向かうベクトル
であることが推定できる。
ｇｒａｄ ｆが向く向きは、スカラー場ｆの中で、ある点から
一番増加量が大きくなる方を向く。
また、そのベクトルの大きさはその方向に対する変化の大きさを表す。
温度分布の例で考えてみよう。
部屋の中にストーブがあり、ストーブから離れるほど
温度が低くなるとする。
この状態を表す温度場スカラーをＴとすると、ｇｒａｄ Ｔは
温度が一番上昇する方向を向く。 つまり、常にストーブの方向を
向いていることになる。
一方、−ｇｒａｄ Ｔは常にストーブとは逆方向を向く。
これは、ストーブからの熱の流れを表すベクトル場ということになる。
このようにｇｒａｄは変化量に関するベクトル場を作るので、
日本語では「勾配」と呼ばれる。
２次元のスカラー場を考えた場合、
その値は山のように例えることが出来る。
スカラーの値が大きい場所は高さが高く、小さい場所は低くなると考えるのである。
山の斜面上のある点において、一番勾配が急な部分の、上方向に向かうベクトルが
ｇｒａｄ ｆである。
ただし、実際にはスカラー場は３次元であることに注意する必要がある。
スカラー場の値を山のようにイメージした場合、
等高線に相当するものを考えることが出来る。
すなわち、スカラー場の値が同じ所をつなげたものである。
実際にはスカラー場は３次元なので、値の同じ場所を
つなげていくと面を形成する。
このような面は等ポテンシャル面と呼ばれる。
等ポテンシャル面の方向にはスカラー場の値は全く変化しない。
ｇｒａｄ ｆは最も変化の激しい方向を向くので、等ポテンシャル面
とは直交する。 これは、山の例では等高線と崖の方向が直交する
ことに相当する。
等ポテンシャル面とｇｒａｄ ｆが直交する様子は、以下のように図示できる。
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… （ａ） |
図の上側は、ベクトル場ｇｒａｄ ｆの様子と等ポテンシャル面に相当する線である。
下側にあるのはこのスカラー場の様子の断面図である。
これらを比較すると、ｇｒａｄ ｆがｆの値が高くなる方向を向く
ベクトル場であることがわかる。
ただし、これらは２次元のスカラー場の表現である。
３次元のスカラー場と等ポテンシャル面の様子を平面上に表現するのは
非常に難しいと思う（私には不可能だ）。
この図から何とか類推していただきたら幸いである。
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