新イシカワ物理数学−rot(回転)


 「スカラー場とベクトル場」で ∇演算子を導入し、前節で∇を内積によりベクトル場に作用させる divを紹介した。  ここでは、∇とベクトル場の外積であるrotを扱う。 

 ナブラの定義をもう一度書くと、以下のとおりである。 
   … (1)

あるベクトル場に対して、ナブラを外積によって作用させた 結果出来るのはベクトルである。  こうしで出来るベクトルはローテーションと呼ばれ、rot と書く。  のローテーションの計算は以下のように行う。 
   … (2)

外積の計算は複雑で間違えやすいが、この形はよく出てくるので よく練習しておくとよい。  ベクトルは位置の関数だったため、rot も 位置の関数になる。 よって、このベクトルはベクトル場になっている。 

 rot がどのようなベクトル場になっているか 考えよう。  まず、外積であることの特徴として、 z成分にはのz成分やzによる微分は含まれない。  そこで、まずrot のz成分について考える。  これはxとyに関する要素のみにより出来ているので、 xy平面で考えればよい。  この成分を偏微分の定義を用いて書き直すと、以下のようになる。 
   … (3)

この値が正になる場合について考えてみよう。  xy平面において辺の長さが凾、凾凾フ長方形を考える。  このとき、上の微分の定義に現れるの成分を 図示すると以下のようになる。 
   … (a)

例えば、図のようにのy成分がx方向に増加し、 のx成分がy方向に減少する場合にrot の x成分が正の値をもつ。  図の正方形に注目してみると、このような矢印に相当する力が かかっていたとき、正の方向に回転することがわかる。  こののことから、rot が値を持つ場合は ベクトル場が渦状に回転していることがわかる。  ローテーションは日本語では回転と呼ばれている。

 x成分、y成分も同様に、回転する要素がある場合に 値をもつ。 これらからなるベクトルは、 渦の方向に対して右ネジの方向に発生する。  例えば、上の図のようにxy平面で反時計回りに回転が生じている場合、 rot はz方向になる。  回転の方向が逆になると、ベクトルは−z方向を向く。 

 風の速度分布の例で考えると、ローテーションが 生じるのは竜巻、台風などである。  台風の場合は空気の流れの渦は地面と平行に出来るので、 ローテーションは地面と垂直に出来ることになる。 

 ローテーションが生じる代表的なベクトル場には 以下のようなものがある。
   … (b)

この場合、ローテーションは画面から手前方向に向かって生じる。  他にも、以下のような場合にもローテーションが生じる。 
   … (c)

この場合もやはりローテーションは奥から手前に向かって生じる。 

 ここまでのところでgrad、div、rotを紹介したので、 これらの合成演算について少し紹介しよう。  まず、以下のような関係がある。 
   … (4)

これは、スカラー場の勾配は回転しないことを示している。  スカラー場を山の高さのようにイメージしたが、 その勾配を考えたときに回転するようなベクトル場は ありえない。  山を上りつづけて回転が存在する(元の場所に戻ってくる)ことは 絶対にないのである。 

 他には、以下のようなものもある。 
   … (5)

これは、回転は発散しないことを表している。  ローテーションはベクトル場の回転成分のみを抽出する操作である。  その操作によって得られたベクトル場には湧き出し・吸い込みを 表す要素は存在しない。 


 以上でスカラー場・ベクトル場の微分演算は終わり、 次節からは積分に入る。  ベクトル場の積分は、1変数スカラー関数の 積分とは大きく異なっている。


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