新イシカワ物理数学−ストークスの定理


 前節ではガウスの定理を扱ったが、これは面積分とダイバージェンスの 対応を与えるものであった。   一方、ストークスの定理は線積分とローテーションの対応を与える定理である。  ここではストークスの定理を、前節と同様に厳密に数学的には取り扱わずに 簡単に説明する。

 まず、閉曲線に対する線積分を考える。  閉曲線とは輪っか状に閉じている曲線のことである。  閉曲線の線積分は、閉曲線に沿った成分を取り出して 集めることになるので、ベクトル場が閉曲線に沿っているほど 値が大きくなる。  閉曲線に沿っているベクトル場とは、 その方向に回転している場であると言える。 回転していないベクトル場の場合、経路と同じ方向の ベクトルと逆方向のベクトルが打ち消しあい、線積分の結果はゼロになる。 

 閉曲線での線積分は数式では
   … (1)

と表す。  閉曲面での面積分と同じように∫が唐ノなった。  今回もやはり周回積分であるので、この記法を用いた。 

 回転を表す微分演算はローテーションであった。  閉曲線における線積分もベクトル場の回転を取り出すので、 これらは非常に重要な関係がある。  この関係を表すのがストークスの定理である。 

 ガウスの定理の法則では閉曲面で囲まれた体積を 直方体に切り分けたが、今回は 閉曲線で囲まれた曲面を微小な長方形に切り分ける。  長方形のそれぞれの辺の長さはdx、dyとする。  ここで、ローテーションを導入したときと同じ状況になっていることがわかる。  rotの節から図を引用すると、以下のようなものであった。 
   … (a)

青いベクトルは右から左を引き、赤いベクトルは下から上を引くのであった。  この図を意識して、長方形それぞれに対してrotの成分を計算して 足し合わせていってみよう。  すると、 隣接する長方形に対して、接している辺に対応するベクトルが 打ち消しあうことがわかる。  x方向、y方向ともに隣接する辺は相殺するので、 結局周りの辺の要素だけが残る。  すなわち、閉曲線の周りのベクトルを集めることになるので、 閉曲面の線積分に帰着する。 

 微小長方形に対応するローテーションの成分をを足し合わせたものは、 ∫rot ・dという風に面積分で表すことが出来る。  rot はベクトル場であり、面に関する回転成分は 微小面積ベクトルとの内積を取ることにより求められるのである。  積分範囲は閉曲線で囲まれる面内である。 

 微小な長方形が接している場合は要素が相殺するので、 この面積分が閉曲線の線積分と等しいことになる。  すなわち、
   … (2)

となる。  これをストークスの定理と呼ぶ。 Sは閉曲線Cで囲まれる面である。 

 ストークスの定理の右辺は、微小な回転要素の足し合わせを表している。  一方、左辺は有限の大きさの閉曲線における回転要素である。  つまり、ストークスの定理は、微小な回転要素を集めると 全体の回転になるということを表している式なのである。 

 ストークスの定理は物理で非常によく使われる。  実際に計算できるようになることも重要だが、 まずはイメージをつかむことが重要である。


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