新イシカワ量子力学− 井戸型ポテンシャル


 前節までで1次元を運動する粒子を量子力学的に記述する 方法を一通り説明した。 ここでは、具体的なポテンシャルにおける 問題の中で一番簡単な、無限に高い井戸型ポテンシャルを扱う。  この問題を解くことにより、力学系の量子力学的な取り扱いかたを 知ることができる。 


 1次元を運動する粒子の状態は波動関数Ψで表すことができ、 波動関数は以下のシュレディンガー方程式を満たすと 前節で扱った。 
   … (1)

この方程式の解は、定常状態では
   … (2)

と表すことができ、時間に依存しない波動関数ψは 以下の時間に依存しないシュレディンガー方程式 を満たすのであった。 
   … (3)


 ここでは、無限の深さの井戸型ポテンシャルを扱う。  これは以下のようなポテンシャルである。 
   … (4)

xが0からaまでの領域とそれ以外の領域でポテンシャルの差が 無限大になっている。  この様子は、図示すると以下のようなものである。 
   … (a)

x=0、aでポテンシャルは壁を作っている。  ただし、これはポテンシャルの壁であって、実際の壁ではない ことに注意しなければならない。  この図の縦軸はy座標を表しているのではなく、 ポテンシャルVを表しているのである。 

 このようなポテンシャル中では、粒子は ポテンシャルの井戸の中、すなわち0からaの間を 運動すると考えられる。  このように、粒子の運動がある範囲内に束縛されている場合、 その状態を束縛状態と言う。  今考えているポテンシャルでは、粒子の状態は束縛状態のみで あると考えられる。  また、このとき粒子のエネルギーEはE>0の値を取ると 考えられる。 Eが負の場合は、常にエネルギーより ポテンシャルの方が大きくなってしまう。  以下、E>0と考えることにする。 

 ポテンシャル(4)をふまえ、シュレディンガー方程式(3)を 解いてみよう。  まず、x<0、x>aの領域ではポテンシャルは発散しており、 (3)式の解はψ=0となる。  このときはΨ=0となる。  波動関数の自乗は確率密度を表すので、 この領域には粒子は存在できないことになる。 

 次に、0≦x≦aの領域を考える。 この領域では V=0なので、シュレディンガー方程式は以下のようになる。 
   … (5)

計算を簡単にするために
   … (6)

とおくと、この式は
   … (7)

と非常に簡単な形になる。  これは定数係数2階線型微分方程式であり、一般解は
   … (8)

と書ける。 A、Bは任意の定数である。  (7)式に代入してみると、 確かに解になっていることが確かめられる。 

 シュレディンガー方程式の一般解は(8)であるが、 任意のA、BおよびエネルギーEについて (8)式で表される全ての状態が実現するわけではない。  実現する状態は、x=0およびaにおいてψが 連続である場合で、規格化された状態である。  そこで、まずψがx=0とaで連続であるという 条件について考える。  ψはポテンシャル井戸の外ではゼロなので、 x=0、aでψはゼロにならなければならない。  つまり、(8)式を使うと、
   … (9)

となる。  1行目から、A=0であるということがわかる。  ただし、A=B=0の場合、波動関数は常に ゼロになってしまい、粒子はどこにも存在しなくなってしまう。  よって、B≠0と考えることにする。  A=0、B≠0の条件で2行目を見ると、 sin ka=0となることがわかる。  sin xがゼロとなる場合、xはπの整数倍になる。  よって、整数nを使うと
   … (10)

となる。  ただし、n=0の場合はψ=0となってしまうので 除外した。 また、 nが負の場合はBの符号を調節することによりnが正の場合の解と 同じになるので、nが正の場合のみを考えることにした。  このような、系の固有状態を指定する整数nのことを 量子数と呼ぶ。 量子数が1の状態、すなわち 最もエネルギーが低い状態は基底状態と呼ばれる。  これに対し、基底状態よりもエネルギーが高い状態は 励起状態と呼ばれる。 

 (6)式に従ってkを元に戻すと、
   … (11)

となる。 この系で実現する状態のエネルギーは、 この式を満たす値しかとらない。  nは整数なので、エネルギーは連続的な値をとらずに とびとびの値をとることになる。  このように、量子力学的な系において実現するエネルギーが とびとびになることをエネルギーの量子化と言う。  また、量子化されたエネルギーの値のことを エネルギー準位と呼ぶ。 n=1のエネルギー準位は 基底準位、n≧2のエネルギー準位は励起準位と呼ばれることがある。 

 以上のような条件から、実現しうる状態の波動関数は、 A=0とk=nπ/aを代入すると
   … (12)

となっていることがわかる。  まだ定数Bの値が決まっていないが、これは規格化することにより 決めることができる。  波動関数の自乗を全領域で積分すると、
   … (13)

となる。 この値が1になるように規格化すると、
   … (14)

となる。  ただし、Bの値は負でもかまわないし、eiδという形をしている 因子がついていてもかまわない。 しかし、 物理的に重要な意味を持つのは波動関数自体ではなく 波動関数の自乗である。  位相因子は波動関数を自乗する際に消えてしまうので、 特に意味を持たない。  そこで、一番単純にBが正の実数になる場合を 考え、(14)式のように置くことにする。 

 以上から、量子数nのエネルギー固有状態における時間に依存する 波動関数は以下のように書くことができる。 
   … (15)

nが1、2、3の場合について、確率密度すなわち 波動関数の自乗を図示してみると、以下のようになった。 
   … (b)

一番下がn=1、真中が2、上が3である。  横軸はaを単位としてxを表している。  粒子がエネルギー固有状態にある場合、 このような確率分布をしているのである。 

 エネルギー固有状態はハミルトニアンが対角化された 状態で、新たな基本状態としてとることができる。  量子数がnの状態を|n>と書くことにすると、
   … (16)

となっていることを積分計算をすることにより示すことができる。  これは、エネルギー固有状態|n>が(線形代数の用語で) 正規直交系をなすことを示している。 

 実際に存在しうる状態は、エネルギー固有状態のみではない。  そこで、例としてn=1の状態とn=2の状態の重ね合わせ
   … (17)

を考えてみよう。 このような状態で波動関数および 波動関数の自乗は
   … (18)

となる。  ただし、エネルギーの式(11)は少々複雑なので、 量子数nに対応するエネルギーをEと 書いた。  (18)式の3行目が表す確率密度は、 エネルギー固有状態とは違い時間によって変化する。  eiδという因子はδが2π増えるごとに 周期的に変化するので、この確率密度は 周期T=2πħ/(E−E)で 周期的に変化すると考えられる。  t=0場合とt=T/2の場合をグラフにプロットしてみると、 以下のようになる。 
   … (c)

下がt=0、上がt=T/2のときの確率密度である。  この状態は周期的に変化するので、t=0から (下の状態)→(上の状態)→(下)→(上)→・・・という風に 時間変化することになる。 


 ここでは、無限に高い井戸型ポテンシャルを 例にとって、量子力学における問題の解き方を見てきた。  ここでまとめてみると、まず時間に依存しないシュレディンガー 方程式でエネルギー固有状態を求めるのであった。  次に境界条件を考えてエネルギーを量子化する。  そして規格化条件から実現しうる波動関数を求めるのであった。  さらに具体的に初期条件が与えられている場合は、 エネルギー固有状態の重ね合わせで初期条件を 満たすものを選べばよい。 

 次節では、1次元系の他の例として デルタ関数ポテンシャルの問題を扱う。  今回は量子状態は束縛状態のみであったが、 次節では束縛状態にならない場合を主に扱う。  また、結果として導かれる トンネル効果という現象についても扱う。 



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